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世界上Z的不銹鋼砝碼組合即將來臨
點擊次數(shù):2635 更新時間:2012-07-27

 世界上zui的砝碼組合

某天正當(dāng)發(fā)發(fā)由于和老祖共同研發(fā)的狂幣發(fā)行受挫,沮喪之極而狂喝悶酒的時候,“叮呤呤”,提起話筒聽,原來是二傻從X星上的空間站回來了,并帶來了個令人不安的消息,他說X星上的空間站由于出了意外,所有的砝碼均被毀壞,站長派他火速回地球帶組新砝碼去,具體要求是:

(1) 能稱量從1克到3280克的所有整數(shù)克,但砝碼的總質(zhì)量不能過3280克。
(2) 砝碼的數(shù)量盡量要少,空間站站長德•梅齊里亞克要求不過8個砝碼。

二傻已經(jīng)跑遍了*上所有的衡器廠,都沒人敢接下這個定單,算他幸運的是,竟然還記得我這個來自天狗星(二傻不讓俺去天狼星,所以只好住到天狼星的隔壁天狗星上)的發(fā)明狂----發(fā)發(fā)。我安慰他說,“傻兄,您放心,這對于我們天狗星的人來說,那是小菜碟,連三歲的小孩子都辦得到,您明天早來取貨就行了”,約定好取貨時間后,他還不斷的叮囑“記住,砝碼的總數(shù)量不能過8個!總質(zhì)量也不能過3280克!就是過微克都是犯罪??!”。我說:“這個我知道,根據(jù)老愛的公式:E=mc^2,在接近光速飛行時,就算是微不足道的微克質(zhì)量也需要消耗掉難以想象的能量,不過您放心去睡吧,誰叫咱倆是好朋友呢,我不替您分憂,誰替您分憂?”。聽我這么說他才肯走,但走時的眼光連白癡都看得出充滿了不信任。。。

我可不想浪費時間去研究他的目光,趕緊撥通老祖的,向他定做了下面這組砝碼:

(1)1克,
(2)3克,
(3)9克,
(4)27克,
(5)81克,
(6)243克,
(7)729克,
(8)2187克。

共8種,每種定做個。
老祖是何等高手!轉(zhuǎn)眼就給弄出8只絕美的金剛砝碼如下:
砝碼

 

看著這些美麗無比而魅力無窮的堪稱世界上zui的天狗星砝碼組合,發(fā)發(fā)突然想起,多數(shù)地球人的智商還不如咱天狗星的三歲小孩,如果不仔細(xì)說明其中來龍去脈,恐怕地球人不相信也不會正確使用這些砝碼。想到這,趕緊提筆寫下了世界上zui的砝碼組合的數(shù)學(xué)原理及使用手冊。

、數(shù)學(xué)原理:

用天平稱量物體實際上是把物體放在個托盤上,然后在兩個托盤上分別加上適當(dāng)?shù)捻来a,使得天平保持平衡,這時物體的質(zhì)量就等于這兩個托盤上砝碼各自質(zhì)量之和的差值。這樣來,世界上zui砝碼組合問題就轉(zhuǎn)變成純數(shù)學(xué)的整數(shù)*拆分問題了:

如何將3280分解成些較小的數(shù)(正整數(shù),下同),取出部分這些數(shù)(每個數(shù)在次運算中只能使用次,即滿足砝碼的*性)行或加或減的運算就能得到個新的數(shù)。而且用這種方法得到的數(shù)集里必須含了從1到3280的所有正整數(shù)。

(1) 先讓我們來看理論上能不能做到。假設(shè)這樣的組數(shù)存在,我們設(shè)為n個,從小到分別為:A1,A2,…,An即:A1<A2<…<An(n為正整數(shù))現(xiàn)在我們來看這組數(shù)是如何組成個新的數(shù)的。

K1A1+ K2A2+….+KnAn (其中k1,k2,….,kn的取值只能是-1,0,+1這三個數(shù),n是正整數(shù))

根據(jù)要求,我們知道A1,A2,…,An這組數(shù)必須滿足下面這些條件:

A1+A2+…+An=3280 …………………①

K1A1+ K2A2+….+KnAn 當(dāng)k1到kn取完所有的可能值時,至少能產(chǎn)生3280個數(shù)字 ,而這些數(shù)字里還必須有1至3280的所有正整數(shù)。 .................②

式子②所能產(chǎn)生的數(shù)字個數(shù)問題實際上又是排列組合問題,K1,K2,…,Kn每個都有三種取值的可能,所以所能組成的數(shù)字的總個數(shù)P=3^n。這些數(shù)字中有0,有正整數(shù),也有負(fù)整數(shù),由于對稱性,正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的個數(shù)是樣多的。所以實際產(chǎn)生的正整數(shù)的總個數(shù)應(yīng)該是:T=(P-1)/2=(3^n-1)/2.

設(shè)T=3280,(如果此式能成立,則剛好能產(chǎn)生1到3280的所有正整數(shù))

即:T=(P-1)/2=(3^n-1)/2.=3280。
解之得: n=8

這就從理論上證明了3280能分成8個較少的數(shù)字,并且從這8個數(shù)字中取出m(m<=8的正整數(shù))個行或加或減所生成的所有正整數(shù)剛好就是1至3280的所有自然正整數(shù)。

(2) 既然理論上是可以做到的,那我們就實際來做做。

顯然: A1=1, 因為1是自然數(shù)的始祖,少了它肯定不行。

那么A2是多少呢? A2與1可以組成的數(shù)字:A2-1,A2,A2+1,顯然A2-1=2,解之得: A2=3

有了1和3這兩個數(shù)字我們就能產(chǎn)生數(shù)字:1,2,3,4

增加A3后,我們又能增加這些數(shù):
A3-4,A3-3,A3-2,A3-1,A3,A3+1,A3+2 ,A3+3,A3+4
同理A3-4=5,解之得:A3=9
。。。。。。

同理我們可以得到A4=27,A5=81,A6=243,A7=729,X8=2187

現(xiàn)在讓我們驗證方程①是否成立,
A1+A2+…+An=1+3+9+27+81+243+729+2187=3280
方程①成立。

到此我們不但在理論上而且在實際上也找到了這8個數(shù)字了,它們分別是

1 3 9 27 81 243 729 2187


二、使用手冊

砝碼的使用問題歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)問題,所以我們在這里就說數(shù)學(xué)問題吧。也就是說如何用1 3 9 27 81 243 729 2187這8個原始數(shù)字表示1至3280的某個具體的數(shù)字,先讓我們來做幾道簡單的算術(shù)題:

1
1+3=4
1+3+9=13
1+3+9+27= 40
1+3+9+27+81=121
1+3+9+27+81+243=364
1+3+9+27+81+243+729=1093
1+3+9+27+81+243+729+2187=3280

我們把1至3280的所有正整數(shù)分在7個區(qū)間里,它們分別是:
Q1= [1 4] 1∈Q1,3∈Q1
Q2=(4 13] 9∈Q2
Q3=(13 40] 27∈Q3
Q4=(40 121] 81∈Q4
Q5=(121 364] 243∈Q5
Q6=(364 1093] 729∈Q6
Q7=(1093 3280] 2187∈Q7
其中“(”表示開區(qū)間,“]”表示閉區(qū)間。
.
顯然,給我們?nèi)魏蝹€數(shù)A(1<=A<=3280),我們先看A屬于哪個區(qū)間,在哪個區(qū)間就取也同在那個區(qū)間的那個原始數(shù)字來做減數(shù)與A相減,比如數(shù)字A與原始數(shù)字B1在同區(qū)間,則A可以表示成
A=B1+K1 或A=B1-K1 ……. ①

現(xiàn)在再看K1在哪個區(qū)間,如果K1和原始數(shù)字B2在同區(qū)間,則K1可表示成
K1=B2+K2 或K1=B2-K2 ………②

依此類推,只到所有的數(shù)字都變成原始數(shù)字為止。即
……………………………………………….
Kn-1=Bn+Kn 或Kn-1=Bn-Kn ……….(n)

(其中A,B,K,n都是正整數(shù))

這時將式(n)代入式(n-1), 式(n-1)代入式(n-2)……式②代入式①
這樣全部用原始數(shù)字表示的數(shù)字A就完成了。下面用具體的數(shù)字為例加以說明。

例(1)用天平稱取2008克物品。即A=2008
解:
2008∈Q7, 2187∈Q7,所以
2008=2187-179

179∈Q5, 243∈Q5,并且179= 243-64
所以
2008=2187-243+64
64∈Q4 , 81∈Q4,并且64=81-17
所以
2008=2187-243+81-17
17∈Q3, 27∈Q3,并且17=27-10
所以
2008=2187-243+81-27+10
10∈Q2, 9∈Q2, 并且10=9+1
所以

2008=2187-243+81-27+9+1

又因為1是原始數(shù)字,所以到這里就可以O(shè)K了。

在使用天平稱取2008克物品時,243克,27克的砝碼和物品放在同邊托盤上,2187克,81克,9克,1克的砝碼放在另邊托盤上即可,當(dāng)天平平衡時,這時物品的質(zhì)量就是2008克。

例(2)用天平稱取1997克物品,即A=1997

1997∈Q7, 2187∈Q7
所以 1997=2187-190

190∈Q5,243∈Q5,并且 190=243-53
所以 1997=2187-243+53


53∈Q4,81∈Q4,并且 53=81-28
所以 1997=2187-243+81-28

28∈Q3,27∈Q3,并且28=27+1
所以 1997=2178-243+81-27-1


8∈Q2,9∈Q2,并且 8=9-1
所以 1997=2178-243+81-27-1

在使用天平稱取1997克物品時,物品和質(zhì)量為243克,27克,1克的砝碼放在個托盤上,2178克,81克的砝碼放在另托盤上,當(dāng)天平平衡時,此時物品的質(zhì)量即為1997克。

習(xí)題:
1,世界上zui的砝碼組合9顆砝碼應(yīng)該是多少克?
2,世界上zui的砝碼組合的n顆砝碼應(yīng)該是多少克?
3,德•梅齊里亞克的法碼問題:
個商人有個40磅的砝碼,由于跌落在地而碎成4塊。后來,稱得每塊碎片的重量都是整磅數(shù),而且可以用這4塊來稱從1至40磅之間的任意整數(shù)磅的重物。問這4塊砝碼片各重多少?

參考資料:
① Problèmes plaisants et délectabled qui se font par les nombres
② Quarterly Journal of Mathematics, vol. XXI, 1886

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