世界上zui的砝碼組合某天正當(dāng)發(fā)發(fā)由于和老祖共同研發(fā)的狂幣發(fā)行受挫,沮喪之極而狂喝悶酒的時候,“叮呤呤”,提起話筒聽,原來是二傻從X星上的空間站回來了,并帶來了個令人不安的消息,他說X星上的空間站由于出了意外,所有的砝碼均被毀壞,站長派他火速回地球帶組新砝碼去,具體要求是:
(1) 能稱量從1克到3280克的所有整數(shù)克,但砝碼的總質(zhì)量不能過3280克。 (2) 砝碼的數(shù)量盡量要少,空間站站長德•梅齊里亞克要求不過8個砝碼。
二傻已經(jīng)跑遍了*上所有的衡器廠,都沒人敢接下這個定單,算他幸運的是,竟然還記得我這個來自天狗星(二傻不讓俺去天狼星,所以只好住到天狼星的隔壁天狗星上)的發(fā)明狂----發(fā)發(fā)。我安慰他說,“傻兄,您放心,這對于我們天狗星的人來說,那是小菜碟,連三歲的小孩子都辦得到,您明天早來取貨就行了”,約定好取貨時間后,他還不斷的叮囑“記住,砝碼的總數(shù)量不能過8個!總質(zhì)量也不能過3280克!就是過微克都是犯罪??!”。我說:“這個我知道,根據(jù)老愛的公式:E=mc^2,在接近光速飛行時,就算是微不足道的微克質(zhì)量也需要消耗掉難以想象的能量,不過您放心去睡吧,誰叫咱倆是好朋友呢,我不替您分憂,誰替您分憂?”。聽我這么說他才肯走,但走時的眼光連白癡都看得出充滿了不信任。。。
我可不想浪費時間去研究他的目光,趕緊撥通老祖的,向他定做了下面這組砝碼:
(1)1克, (2)3克, (3)9克, (4)27克, (5)81克, (6)243克, (7)729克, (8)2187克。
共8種,每種定做個。 老祖是何等高手!轉(zhuǎn)眼就給弄出8只絕美的金剛砝碼如下:
看著這些美麗無比而魅力無窮的堪稱世界上zui的天狗星砝碼組合,發(fā)發(fā)突然想起,多數(shù)地球人的智商還不如咱天狗星的三歲小孩,如果不仔細(xì)說明其中來龍去脈,恐怕地球人不相信也不會正確使用這些砝碼。想到這,趕緊提筆寫下了世界上zui的砝碼組合的數(shù)學(xué)原理及使用手冊。
、數(shù)學(xué)原理:
用天平稱量物體實際上是把物體放在個托盤上,然后在兩個托盤上分別加上適當(dāng)?shù)捻来a,使得天平保持平衡,這時物體的質(zhì)量就等于這兩個托盤上砝碼各自質(zhì)量之和的差值。這樣來,世界上zui砝碼組合問題就轉(zhuǎn)變成純數(shù)學(xué)的整數(shù)*拆分問題了:
如何將3280分解成些較小的數(shù)(正整數(shù),下同),取出部分這些數(shù)(每個數(shù)在次運算中只能使用次,即滿足砝碼的*性)行或加或減的運算就能得到個新的數(shù)。而且用這種方法得到的數(shù)集里必須含了從1到3280的所有正整數(shù)。
(1) 先讓我們來看理論上能不能做到。假設(shè)這樣的組數(shù)存在,我們設(shè)為n個,從小到分別為:A1,A2,…,An即:A1<A2<…<An(n為正整數(shù))現(xiàn)在我們來看這組數(shù)是如何組成個新的數(shù)的。
K1A1+ K2A2+….+KnAn (其中k1,k2,….,kn的取值只能是-1,0,+1這三個數(shù),n是正整數(shù))
根據(jù)要求,我們知道A1,A2,…,An這組數(shù)必須滿足下面這些條件:
A1+A2+…+An=3280 …………………①
K1A1+ K2A2+….+KnAn 當(dāng)k1到kn取完所有的可能值時,至少能產(chǎn)生3280個數(shù)字 ,而這些數(shù)字里還必須有1至3280的所有正整數(shù)。 .................②
式子②所能產(chǎn)生的數(shù)字個數(shù)問題實際上又是排列組合問題,K1,K2,…,Kn每個都有三種取值的可能,所以所能組成的數(shù)字的總個數(shù)P=3^n。這些數(shù)字中有0,有正整數(shù),也有負(fù)整數(shù),由于對稱性,正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的個數(shù)是樣多的。所以實際產(chǎn)生的正整數(shù)的總個數(shù)應(yīng)該是:T=(P-1)/2=(3^n-1)/2.
設(shè)T=3280,(如果此式能成立,則剛好能產(chǎn)生1到3280的所有正整數(shù))
即:T=(P-1)/2=(3^n-1)/2.=3280。 解之得: n=8
這就從理論上證明了3280能分成8個較少的數(shù)字,并且從這8個數(shù)字中取出m(m<=8的正整數(shù))個行或加或減所生成的所有正整數(shù)剛好就是1至3280的所有自然正整數(shù)。
(2) 既然理論上是可以做到的,那我們就實際來做做。
顯然: A1=1, 因為1是自然數(shù)的始祖,少了它肯定不行。
那么A2是多少呢? A2與1可以組成的數(shù)字:A2-1,A2,A2+1,顯然A2-1=2,解之得: A2=3
有了1和3這兩個數(shù)字我們就能產(chǎn)生數(shù)字:1,2,3,4
增加A3后,我們又能增加這些數(shù): A3-4,A3-3,A3-2,A3-1,A3,A3+1,A3+2 ,A3+3,A3+4 同理A3-4=5,解之得:A3=9 。。。。。。
同理我們可以得到A4=27,A5=81,A6=243,A7=729,X8=2187
現(xiàn)在讓我們驗證方程①是否成立, A1+A2+…+An=1+3+9+27+81+243+729+2187=3280 方程①成立。
到此我們不但在理論上而且在實際上也找到了這8個數(shù)字了,它們分別是
1 3 9 27 81 243 729 2187
二、使用手冊
砝碼的使用問題歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)問題,所以我們在這里就說數(shù)學(xué)問題吧。也就是說如何用1 3 9 27 81 243 729 2187這8個原始數(shù)字表示1至3280的某個具體的數(shù)字,先讓我們來做幾道簡單的算術(shù)題:
1 1+3=4 1+3+9=13 1+3+9+27= 40 1+3+9+27+81=121 1+3+9+27+81+243=364 1+3+9+27+81+243+729=1093 1+3+9+27+81+243+729+2187=3280
我們把1至3280的所有正整數(shù)分在7個區(qū)間里,它們分別是: Q1= [1 4] 1∈Q1,3∈Q1 Q2=(4 13] 9∈Q2 Q3=(13 40] 27∈Q3 Q4=(40 121] 81∈Q4 Q5=(121 364] 243∈Q5 Q6=(364 1093] 729∈Q6 Q7=(1093 3280] 2187∈Q7 其中“(”表示開區(qū)間,“]”表示閉區(qū)間。 . 顯然,給我們?nèi)魏蝹€數(shù)A(1<=A<=3280),我們先看A屬于哪個區(qū)間,在哪個區(qū)間就取也同在那個區(qū)間的那個原始數(shù)字來做減數(shù)與A相減,比如數(shù)字A與原始數(shù)字B1在同區(qū)間,則A可以表示成 A=B1+K1 或A=B1-K1 ……. ①
現(xiàn)在再看K1在哪個區(qū)間,如果K1和原始數(shù)字B2在同區(qū)間,則K1可表示成 K1=B2+K2 或K1=B2-K2 ………②
依此類推,只到所有的數(shù)字都變成原始數(shù)字為止。即 ………………………………………………. Kn-1=Bn+Kn 或Kn-1=Bn-Kn ……….(n)
(其中A,B,K,n都是正整數(shù))
這時將式(n)代入式(n-1), 式(n-1)代入式(n-2)……式②代入式① 這樣全部用原始數(shù)字表示的數(shù)字A就完成了。下面用具體的數(shù)字為例加以說明。
例(1)用天平稱取2008克物品。即A=2008 解: 2008∈Q7, 2187∈Q7,所以 2008=2187-179
179∈Q5, 243∈Q5,并且179= 243-64 所以 2008=2187-243+64 64∈Q4 , 81∈Q4,并且64=81-17 所以 2008=2187-243+81-17 17∈Q3, 27∈Q3,并且17=27-10 所以 2008=2187-243+81-27+10 10∈Q2, 9∈Q2, 并且10=9+1 所以
2008=2187-243+81-27+9+1
又因為1是原始數(shù)字,所以到這里就可以O(shè)K了。
在使用天平稱取2008克物品時,243克,27克的砝碼和物品放在同邊托盤上,2187克,81克,9克,1克的砝碼放在另邊托盤上即可,當(dāng)天平平衡時,這時物品的質(zhì)量就是2008克。
例(2)用天平稱取1997克物品,即A=1997 解 1997∈Q7, 2187∈Q7 所以 1997=2187-190 190∈Q5,243∈Q5,并且 190=243-53 所以 1997=2187-243+53 53∈Q4,81∈Q4,并且 53=81-28 所以 1997=2187-243+81-28
28∈Q3,27∈Q3,并且28=27+1 所以 1997=2178-243+81-27-1 8∈Q2,9∈Q2,并且 8=9-1 所以 1997=2178-243+81-27-1
在使用天平稱取1997克物品時,物品和質(zhì)量為243克,27克,1克的砝碼放在個托盤上,2178克,81克的砝碼放在另托盤上,當(dāng)天平平衡時,此時物品的質(zhì)量即為1997克。
習(xí)題: 1,世界上zui的砝碼組合9顆砝碼應(yīng)該是多少克? 2,世界上zui的砝碼組合的n顆砝碼應(yīng)該是多少克? 3,德•梅齊里亞克的法碼問題: 個商人有個40磅的砝碼,由于跌落在地而碎成4塊。后來,稱得每塊碎片的重量都是整磅數(shù),而且可以用這4塊來稱從1至40磅之間的任意整數(shù)磅的重物。問這4塊砝碼片各重多少?
參考資料: ① Problèmes plaisants et délectabled qui se font par les nombres ② Quarterly Journal of Mathematics, vol. XXI, 1886 實潤砝碼為您提供專業(yè)的和具有競爭力的格,請您放心購買 公司地址:上海市松江區(qū)九亭街1382弄51號(業(yè)務(wù)辦公) : 江曉 公司:http:/// http://www.shirun01.com/ |